Testando Raízes de Unidade A análise de séries de tempo é sobre a identificação, estimativa e verificação diagnóstica de séries temporais estacionárias. A título de revisão, oferecemos as seguintes definições: Definição: A sequência é dita ser covariância estacionária se para todo t e t-s Ou seja, a média, a variância ea covariância são invariantes à origem temporal. Definição: Suponha que temos a seqüência t (t0,1,2,133) com média m e variância s 2. Então, a função de autocorrelação ou correlograma é dada por Suponha que temos uma série t que sabemos ter sido gerada por um AR (1 ) Processo, digamos, onde e et é ruído branco. Podemos estimar os parâmetros em (1) por OLS: Nosso estimador é eficiente ea série é estacionária desde então. Podemos usar uma estatística t para testar a hipótese. Este é um teste legítimo, já que o nulo é uma hipótese refutável, mesmo que o poder contra uma alternativa local seja insignificante. Mas suponha que os dados foram realmente gerados por substituição recursiva, isso pode ser reescrito como o que não é estacionário desde que t fica grande. Agora, queremos testar. Há um problema, entretanto, uma vez que o centro de massa do estimador usual seria limitado a partir de 1. Teríamos tendência a errar ao lado de rejeitar muitos H 0. A questão da presença de uma raiz unitária é particularmente problemática em modelos de regressão do tipo Normalmente assumimos que t e t são estacionários e que e t é ruído branco. Se as duas variáveis não são estacionárias, então provavelmente obteremos resultados espúrios: R 2 elevado e coeficientes estatisticamente significativos, embora não haja realmente uma relação significativa entre y e z. Há quatro casos a considerar Tanto t quanto t são estacionários eo modelo de regressão clássico é o. k. As sequências t e t são integradas de ordens diferentes. Modelos de regressão contendo tais séries não-estacionárias são sem sentido. Os t e t não-estacionários são ambos integrados de ordem 1, digamos, eo termo de erro tem uma deriva estocástica. Agora todos os erros são permanentes. Isso é E t e ti e t. Mas podemos aplicar OLS com bom efeito para t e t são integrados da mesma ordem ea seqüência residual é estacionária. Então t e t são considerados co-integrados. Por exemplo: Tanto t quanto t são processos de raiz unitária, mas y t - z t e yt - e zt é estacionário. Vamos deixar o caso 4 até o capítulo sobre cointegração. Por enquanto, nos preocuparemos em determinar se a série t tem ou não uma raiz unitária. Testes de Dickey-Fuller Considere o processo de geração de dados E a questão associada, é 1 1 Subtraia y t-1 de ambos os lados para obter g 0 implica uma 1 1 implica uma raiz unitária em t. Podemos reescrever isso como No próximo período, ou seja, t1, a intercepção é aoa 1 t1 maior, à qual somamos Um termo estocástico. Vimos esta idéia de uma intercepção estocástica em outro lugar. Nomeadamente no modelo de efeitos aleatórios. Podemos permitir uma tendência linear com deriva Em qualquer caso, o nosso teste de hipótese é A estatística de teste que usamos para o teste de hipótese é construída como uma estatística t. Isso é Os valores críticos vêm de um conjunto de tabelas preparado por Dickey e Fuller. As tabelas foram geradas empiricamente. Estamos acostumados a fazer testes com valores críticos que determinamos analiticamente através da integração de uma função de distribuição conhecida. A tabela particular a ser usada depende se o modelo tem uma intercepção ou uma tendência nela. No entanto, os valores críticos não são alterados pela inclusão de termos no lado direito. Para orientá-lo no procedimento de teste, considere o seguinte diagrama de fluxo de Walter Enders, Série Econométrica Aplicada, Wiley, 1995. Começa no canto superior esquerdo com o modelo mais geral, que inclui uma deriva estocástica e uma tendência determinística. Ou a tendência ou a deriva pode produzir a aparência de uma raiz unitária em seu próprio direito, então eles devem ser incluídos no início. Lembre-se que uma variável relevante excluída introduz um viés, mas uma variável irrelevante incluída só tem um custo em termos de eficiência. Se o nulo de uma raiz não for rejeitado, então prossiga testando a significância do termo de tendência na presença de uma raiz unitária. Se o termo de tendência não é significativo, então teste para o significado do termo de deriva. Se, ao longo do caminho, acharmos que a tendência ou a deriva não é zero, prosseguimos imediatamente para testar a significância de g. Os seguintes modelos foram ajustados ao índice da produção do banco de reserva federal para o período 1950: 1 - 1977: 4, um total de 112 observações. Em todos os três modelos os números entre parênteses são erros padrão. O modo mais geral, correspondente ao início do fluxograma é Ao nível de 5 do teste (2,5 em cada cauda) o valor crítico para o coeficiente de y t-1 para um modelo com deriva e tendência é -3,73, em comparação com Uma estatística de teste observada de 3,6, por isso não conseguimos rejeitar o nulo. No momento acreditamos que haja uma raiz unitária. Em seguida, ajustamos um modelo que impõe a restrição que g 0, e teste para ver se o coeficiente de tendência é zero. Note que, com base num teste t convencional, o coeficiente de tendência é altamente significativo. Um modelo com deriva mas nenhuma tendência e que supõe que existe uma raiz unitária é agora o teste da hipótese é H o. Raiz unitária, sem tendência H 1. Um ou ambos não verdadeiro A estatística de teste apropriada é construída como se fosse um teste F, mas o valor crítico é lido a partir de um conjunto diferente de tabelas. O valor crítico no nível 5 é 6,49, por isso não conseguimos rejeitar o nulo. Nossa conclusão a este ponto é que há uma raiz unitária e que a tendência deve ser excluída. Um modelo sem deriva nem tendência, mas que presume uma raiz unitária é O teste de hipótese é H o. Raiz unitária, sem tendência, sem deriva H 1. Um ou mais pertence O valor crítico no nível 1 de teste é 6.50. Uma vez que nossa estatística de teste observada é menor que o valor crítico, não conseguimos rejeitar o nulo. Nossa conclusão é que existe uma raiz unitária, não há nem tendência nem deriva. Extensão de Dickey-Fuller Suponha que o processo de geração de dados é Isto é um pouco mais geral do que o processo com o qual começamos. Admitirá também uma multiplicidade de raízes. Precisamos aumentar Dickey-Fuller para testar essa possibilidade. Vamos considerar o processo AR (3) Vamos somar e subtrair um 3 y t-2 para obter Agora somar e subtrair (a 2 a 3) y t-1 para obter Finalmente, subtrair y t-1 de ambos os lados Agora nós Pode testar a presença de uma raiz unitária. Sabemos que se os coeficientes em uma equação de diferença somam a um então pelo menos uma raiz é unidade. No presente contexto, isto equivale a testar g 0, como no caso mais simples. Os valores críticos para este modelo aumentado permanecem os mesmos que antes. Entre parênteses, a adição de uma tendência de tempo provoca uma dor de cabeça quando chega a hora de derivar as grandes propriedades de amostra do estimador OLS uma vez que xx não será mais finito elemento-sábio. Problemas com D-F e D-F aumentado 1. O termo de erro pode ter um termo médio móvel nele. Suponha que A (L) y t C (L) e t e as raízes de C (L) estão todas fora do círculo unitário, então C (L) é inversível. Então, infelizmente, D (L) será de ordem infinita, mas podemos usar nosso procedimento anterior para escrever. Com nossos conjuntos de dados finitos, poderíamos estar em apuros, se não pelo fato de que foi mostrado empiricamente que uma boa aproximação cortará a Atraso distribuído no termo T / 3. 2. Qual é o comprimento de latência apropriado para os termos diferenciados incluídos no RHS O problema de muitos atrasos reduz a eficiência do estimador. Este é um problema muito menos grave do que usar muito poucos atrasos. Conforme mencionado anteriormente, a exclusão de variáveis relevantes afetará o viés ea consistência do estimador de MQO. 3. DF testes para ver se há pelo menos uma raiz. Por exemplo, pode-se estimar os parâmetros do modelo (1-L) 2 y t b 1 (1-L) y t-1 e t. Um seria, então, usar as estatísticas DF, como apropriado para o caso, para testar b 1 0. Se b10, em seguida, há duas raízes unidade, se não for zero, então um deve ir e testar para ver se existe uma única raiz unitária . O procedimento é generalizado de maneira óbvia. 4. Como saber quais regressores determinísticos pertencem ao modelo Os procedimentos utilizados no exemplo de produção do FRB e nos problemas 2 e 3 utilizam testes de hipóteses em cascata. Como se mostra em Theil, Principles of Econometrics, Wiley, 1971, isso reduz o nível de significância pretendido do teste em cada etapa seguinte. Na mesma linha, Judge e seus numerosos co-autores argumentariam que o procedimento delineado no fluxograma coloca no domínio do pré-teste e, portanto, maior perda de erro quadrático em uma grande parte do espaço de parâmetro. No entanto, no trabalho aplicado muitas vezes ignorar essas advertências e usar o processo no fluxograma. Outro Exemplo: Paridade do Poder de Compra Sob o PPA, a taxa de depreciação da moeda é aproximadamente igual à diferença entre as taxas de inflação doméstica e externa. O modelo de PPP implica onde pt log do nível de preços dos EUA pt log do nível de preços no estrangeiro et log do preço em dólar do desconto cambial dt desvio de PPP no tempo t As três séries de dados aplicam a transformação log de modo que estamos usando as taxas de inflação . Em certos modelos de PPP, é possível que choques reais para demanda ou oferta causem desvios permanentes. Intuitivamente, os desvios não devem persistir ou haveria oportunidades substanciais para a obtenção de lucros. E de qualquer forma tal tomada de lucro e arbitragem iria restaurar PPP eventualmente. Um procedimento popular na modelagem empírica de PPP é construir a série Se PPP é para segurar então r t deve ser estacionário com uma média zero. Além disso, não pode haver tendência nem deriva estocástica. Para divagar e antecipar o material em outra seção, e t. P t e p t são consideradas co-integradas quando o modelo PPP é verdadeiro. Esta formulação específica do modelo impõe um vetor de cointegração específico sobre as três variáveis. Para os dados mensais para as eras de Bretton Woods pré - (1960.1 - 1971.4, T136) e pós - (1973.1 - 1986.11, T167) obter os seguintes resultados, com erros-padrão entre parênteses: Note-se que a 2 0 para o último período. Esta única razão põe em causa a validade do PPP. Em nenhum dos dois períodos podemos rejeitar o nulo de uma raiz unitária. O t observado é pequeno por qualquer padrão. A mudança no regime cambial tornou as taxas de câmbio mais voláteis e imprevisíveis (ver SD e SEE). Neste exemplo, falhamos em rejeitar o nulo de uma raiz unitária. Não podemos acreditar no modelo PPP. Mas o nosso procedimento de teste é baseado na variância constante do termo de erro, o que não parece ser o caso. Phillips e Perron criaram estatísticas de teste corrigidas para as instâncias em que o erro é um MA, é talvez heterogêneo, ou há uma quebra estrutural nos dados. Mudança estrutural Como podemos distinguir uma série que tem uma ruptura estrutural, mas que de outra forma seria estacionária, e uma série que não é estacionária, mas que, devido a um impulso, parece evoluir como a primeira série Considere um modelo em Que há uma mudança no intercepto onde DL é um para muitos períodos consecutivos e zero em contrário. Um exemplo é a figura a seguir. A linha vermelha é a série original. A linha azul é a regressão simples de y t no tempo (a-3.543, b.189). Na regressão de y t em y t-1 obtemos Aparentemente, a ruptura estrutural faz com que o coeficiente em y t-1 seja tendencioso em direção a um. Para todas as aparências y t não é estacionária, embora saibamos que ela é estacionária antes e depois da quebra em t50. Mesmo sem fazer o teste para este caso, não esperaria que Dickey-Fuller fosse muito robusto contra esses modelos com uma ruptura estrutural neles. Na verdade, a estatística de teste observada é t. 507 Agora considere um modelo não-estacionário em que houve um pulso uma vez e feito onde DP é um em um determinado período e zero em caso contrário Um exemplo está na figura a seguir: A linha vermelha é a Série original. A linha azul é a regressão simples de y t no tempo (a-8.086, b.233). Há uma ruptura aparente em t50. A regressão de y t no seu valor defasado nos dá Mesmo sem um teste formal, o tamanho do coeficiente nos leva a suspeitar de uma raiz unitária, o que é de fato o caso. Sem um teste estatístico nós realmente não podemos distinguir este caso da instância anterior. Phillips e Perron desenvolveram um teste para este problema. Considere o modelo de trabalho em que D P é um pulso igual a um em um período e zero caso contrário, D L é um para alguns períodos consecutivos e zero caso contrário. Passo 1. Estime os coeficientes do modelo completo. Passo 2. Compare as estatísticas-t com os valores críticos em Perron. De particular interesse será o coeficiente a 1. Quando Perron usou esse método para analisar os dados de Plosser-Nelson, ele descobriu que a maioria das séries temporais macro é tendência estacionária. Testando a hipótese nula de estacionariedade contra a alternativa de uma raiz unitária. Como estamos certos de que as séries temporais econômicas têm uma raiz unitária Resumo Propomos um teste da hipótese nula de que uma série observável é estacionária em torno de uma tendência determinística. A série é expressa como a soma da tendência determinística, caminhada aleatória e erro estacionário, eo teste é o teste LM da hipótese de que a caminhada aleatória tem variância zero. A distribuição assintótica da estatística é derivada sob o nulo e sob a alternativa que a série é diferença-estacionária. O tamanho e potência da amostra finita são considerados em um experimento de Monte Carlo. O teste é aplicado aos dados de Nelson-Plosser, e para muitas dessas séries a hipótese de estacionaridade tendencial não pode ser rejeitada. Aberto em sobreposição O segundo e terceiro autores agradecem o apoio da National Science Foundation. Copyright 1992 Publicado por Elsevier B. V. Os cookies são utilizados por este site. Para obter mais informações, visite a página de cookies. Copyright 2016 Elsevier B. V. ou seus licenciadores ou contribuintes. A teoria assintótica de vários estimadores baseada na probabilidade gaussiana foi desenvolvida para os casos de raiz unitária e de raiz unitária de um modelo de média móvel de primeira ordem (281 KB) . Estudos anteriores do problema da raiz unitária MA (1) dependem da estrutura especial de autocovariância do processo MA (1), caso em que os autovalores e autovetores da matriz de covariância do vetor de dados possuem formas analíticas conhecidas. Neste artigo, tomamos uma abordagem diferente para considerar primeiro a probabilidade conjunta, incluindo um valor inicial aumentado como um parâmetro e, em seguida, recuperar a verossimilhança exata, integrando o valor inicial. Esta abordagem ultrapassa a dificuldade de calcular uma decomposição explícita da matriz de covariância e pode ser usada para estudar o comportamento da raiz unitária em médias móveis além da primeira ordem. Também são estudados os aspectos assintóticos da estatística de razão de verossimilhança generalizada (GLR) para testar raízes unitárias. O teste GLR tem características operacionais que são competitivas com o teste localmente imparcial invariante (LBIU) de Tanaka para algumas alternativas locais e domina para todas as outras alternativas. Informação do artigo Datas Primeiro disponível no Projeto Euclides: 24 de janeiro de 2012 Link permanente para este documento projecteuclid. org/euclid. aos/1327413778 Identificador Digital de Objeto doi: 10.1214 / 11-AOS935 Citação Davis, Richard A. Song, Li. Unidade de raízes em médias móveis além da primeira ordem. Ann. Estatista 39 (2011), no. 6, 3062 - 3091. Doi: 10.1214 / 11-AOS935. Projecteuclid. org/euclid. aos/1327413778. Referências 1 Anderson, T. W. e Takemura, A. (1986). Por que as médias móveis estimadas não-reversíveis ocorrem? 7 235x2013254. 2 Andrews, B. Calder, M. e Davis, R. A. (2009). Estimativa de máxima verossimilhança para x3B1 - processos auto-regressivos estáveis. Ann. Estatista 37 1946x20131982.3 Andrews, B. Davis, R. A. e Breidt, F. J. (2006). Estimativa de máxima verossimilhança para modelos de séries temporais de todas as passagens. J. Multivariate Anal. 97 1638x20131659.4 Breidt, F. J. Davis, R. A. Hsu, N.-J. E Rosenblatt, M. (2006). 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Mathematical Reviews (MathSciNet): MR1397269Testando uma raiz unitária de média móvel em modelos de média móvel movimentados e auto-regressivos Nota: Sempre revise suas referências e faça as correções necessárias antes de usar. Preste atenção aos nomes, letras maiúsculas e datas. Jornal da American Statistical Association Descrição: O Jornal da American Statistical Association (JASA) tem sido considerado o primeiro jornal da ciência estatística. Science Citation Index relatou JASA foi o mais altamente citado jornal nas ciências matemáticas em 1991-2001, com 16.457 citações, mais de 50 mais do que o próximo mais altamente citados jornais. Os artigos da JASA se concentram em aplicações estatísticas, teoria e métodos nas ciências econômicas, sociais, físicas, de engenharia e de saúde e em novos métodos de educação estatística. Cobertura: 1922-2010 A parede móvel representa o período de tempo entre a última edição disponível no JSTOR eo número mais recentemente publicado de uma revista. As paredes em movimento são geralmente representadas em anos. Em raros casos, um editor optou por ter uma parede em movimento zero, de modo que seus problemas atuais estão disponíveis em JSTOR logo após a publicação. Nota: No cálculo da parede móvel, o ano em curso não é contabilizado. Por exemplo, se o ano corrente é 2008 e uma revista tem uma parede móvel de 5 anos, os artigos do ano de 2002 estão disponíveis. Termos Relacionados à Parede Móvel Paredes fixas: Jornais sem novos volumes sendo adicionados ao arquivo. Absorvido: Jornais que são combinados com outro título. Completo: Jornais que não são mais publicados ou que foram combinados com outro título. Disciplinas: Ciências Matemática, EstatísticaEste artigo foi citado pelas seguintes publicações. Esta lista é gerada com base nos dados fornecidos pelo CrossRef. Gallego, Jos L. e Daz, Carlos 2015. Modelos Cointegrados VARIMA: Especificação e Simulação. Comunicações em Estatística - Simulação e Computação. 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Para obter um conjunto completo de referências e notas, consulte o PDF ou HTML onde disponível. 2. T. W. Anderson amp D. A. Querida. Teoria assintótica de certos critérios de bondade de ajuste baseados em processos estocásticos. Annals of Mathematical Statistics 23 (1952): 193 212. 3. T. W. Anderson amp A. Takemura. Por que ocorrem médias móveis não-invertíveis estimadas Journal of Time Series Analysis 7 (1986): 235 254. 5. J. D. Cryer amp J. Ledolter. Propriedades de amostra pequena do estimador de máxima verossimilhança no modelo de média móvel de primeira ordem. Biometrika 68 (1981): 691 694. 7. J. P. Imhof Computing a distribuição de formas quadráticas em variáveis normais. Biometrika 48 (1961): 419 426. 9. P. C.B. Phillips Regressão de séries temporais com uma raiz unitária. Econometrica 55 (1987): 277 301. 10. J. D. Sargan amp A. Bhargava. Testando os resíduos da regressão dos mínimos quadrados por serem gerados pela caminhada aleatória gaussiana. 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